Как пишется правильно: пылесошу или пылесосю?

Глагол пылесосить относится к группе так называемых недостаточных глаголов. Их особенность в том, что они ограничены в образовании  некоторых личных форм.

Кроме глагола пылесосить, недостаточными являются глаголы дудеть, победить, убедить, очутиться, ощутить, чудить. Ни один из них не образует формы первого лица настоящего и будущего времени.

Правописание глагола пылесосить исключает его употребление в формах пылесошу или пылесосю. Вместо них используются описательные конструкции, в которых возможно употребление в форме первого лица единственного числа вспомогательных глаголов, связанных по смыслу с инфинитивом глагола  пылесосить: собираюсь пылесосить; хочу пылесосить; решил пылесосить.

Что я делаю? Держу пылесос в руках, собираюсь пылесосить.

Нет, ты меня не отрывай от дел: я решил пылесосить.

Мне надо пылесосить, перезвони попозже.

Описательные конструкции используются и в случае, если необходимо употребить другие недостаточные глаголы в личной форме, которую они самостоятельно образовать не могут:

надеюсь победить; буду дудеть; постараюсь убедить; мечтаю ощутить.

TheDifference.ru дает следующие рекомендации по употреблению глагола пылесосить в первом лице единственного числа:

1. Глагол пылесосить входит в число недостаточных глаголов, которые не образуют формы первого лица единственного числа в настоящем и будущем времени.
2. Использование в устной и письменной речи глагольных форм пылесошу и пылесосю считается грубой речевой и орфографической ошибкой.
3. В речи вместо недопустимых форм глагола  пылесошу и пылесосю используют описательные конструкции, максимально точно передающие смысл выполняемого действия.