Как найти площадь треугольника?

Треугольник относится к плоским геометрическим фигурам. Он образуется за счет попарного пересечения трех отрезков, называемых ребрами или сторонами. Места их соединения друг с другом именуются вершинами, которые входят в состав углов. В зависимости от того, какие из этих параметров известны, существуют различные варианты, как найти площадь треугольника.

Содержание статьи

Произвольный треугольник

Рассмотрим основные способы расчета площади треугольника, обозначив его вершины, стороны и углы так, как показано на картинке.

как найти площадь треугольника

  • Если нам известны длины двух сторон треугольника и значение угла между ними, площадь S можно определить так: S=0,5ab∙sinγ=0,5bc∙sinα=0,5ac∙sinβ.
  • Когда заданы величины всех сторон, для нахождения площади треугольника стоит воспользоваться формулой Герона, представленной на картинке выше, где p=(a+b+c)/2 – половина периметра.
  • Если известна длина высоты hA, опущенной из вершины А, и величина противоположной ей стороны a, то S=0,5ahA. Аналогично для других ребер – S=0,5bhB=0,5chC.
  • Найти площадь треугольника в случаях, когда заданы точки вершин в плоскости A(xA, yA), B(xB, yB), C(xC, yC), можно по следующей формуле: S=0,5((xA-xC)(yB-yC)- (xB-xC)(yA-yC)).
  • При известных длинах ребер и радиусах вписанной r или описанной R окружностей S=0,5r(a+b+c) или S=abc/4R.
к содержанию ↑

Прямоугольный, равнобедренный и равносторонний треугольник

Если фигура относится к одному из этих видов, для нахождения ее площади можно пользоваться более простыми зависимостями.

Учитывая, что треугольник, имеющий угол, равный 900, – это половина прямоугольника, площадь которого равна произведению его ширины и высоты, получаем S=0,5ab, где a, b – катеты. Формула Герона для такой фигуры также значительно проще: S=(p-a)(p-b).

Если треугольник равнобедренный и его элементы обозначены, как на картинке, площадь можно найти так: S=0,5a2sinβ или S=0,5ab∙sinα.

найти площадь треугольника

Когда все стороны треугольника одинаковы и равны a, рассчитать площадь можно по формуле: S=√3a2/4, а при известных радиусах описанной и вписанной окружности – S=3√3R2/4 и S=3√3r2.

Таким образом, чтобы вычислить площадь треугольника, нужно только определиться с известными параметрами и воспользоваться подходящей формулой. Если таковую найти не удалось, стоит немного подумать и попробовать выразить через заданные величины неизвестные переменные, входящие в имеющиеся расчетные зависимости.